Teorema de Bayes o la probabilidad de causas

El teorema de Bayes es uno de los pilares del cálculo de probabilidades. . Es una teoría propuesta por Thomas Bayes (1702-1761) en el siglo XVIII. Pero ¿cuál es el objetivo de la investigación de este famoso científico? La probabilidad expresa en un proceso aleatorio la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Se han desarrollado muchas teorías de probabilidad que gobiernan nuestra existencia hoy. Cuando vamos al médico, este nos prescribe el fármaco que tiene más probabilidades de resultar útil en nuestro caso, del mismo modo que los anunciantes dedican sus campañas a las personas que tienen más probabilidades de adquirir el producto que quieren promocionar o a los turistas y viajeros que eligen la ruta donde probablemente haya menos colas.

La ley de probabilidad total se encuentra entre las más famosas, por ello antes de hablar de la teorema de bayes Tendremos que dedicar unas líneas a explicar el primero. Para intentar entenderlo basta con poner un ejemplo. .

¿Cuál es la probabilidad (P) de que una persona elegida al azar de la población activa de este país sea desempleados ?

Según la teoría de la probabilidad los datos se expresarían de la siguiente manera:

• La probabilidad de que la persona sea mujer: P (M)
• La probabilidad de que la persona sea hombre: P (H)

Sabiendo que el 39% de la población está compuesta por mujeres deducimos que: P(M) = 039.

Por tanto queda claro que: P(H) = 1 – 039 = 061. El problema planteado al principio también nos da las probabilidades condicionales:

• Probabilidad de que una persona se quede en paro sabiendo que es mujer -> P (P | M) = 022
• Probabilidad de que una persona esté desempleada sabiendo que es hombre – P (P | H) = 014

Usando el ley de probabilidad total tendremos:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

El . Observamos que el resultado está a medio camino entre las dos probabilidades condicionales (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Descubramos el teorema de Bayes

Supongamos ahora que se elige al azar a un adulto para que llene un formulario y se observa que no tiene trabajo. En este caso y teniendo en cuenta el ejemplo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona elegida al azar sea una mujer -P (M | P) -?

Para resolver este problema aplicaremos el teorema de Bayes. que se utiliza para calcular la probabilidad de un evento al tener información sobre él de antemano . Podemos calcular las probabilidades de un evento A sabiendo que satisface ciertas características (B).

En este caso hablamos de la probabilidad de que la persona elegida al azar para rellenar un formulario sea una mujer. pero

La fórmula del teorema de Bayes.

Como cualquier otro teorema, necesitamos una fórmula.

Parece complicado pero todo tiene una explicación. Pensemos por partes. ¿Qué significa cada letra?

B es el eventosobre el que disponemos de información preliminar.
• L la letra A (n) Se refiere a los diferentes eventos condicionados.
• En la parte del numerador tenemos probabilidad condicional . Esto se refiere a la probabilidad de que algo (un evento A) ocurra sabiendo que también ocurrirá otro evento (B). Se define como P (A | B) y se expresa como: La probabilidad de A dado B .
• En el denominador tenemos el equivalente a P(B) y sigue la misma explicación que el punto anterior.

Un ejemplo

Volviendo al ejemplo anterior supongamos que se elige al azar un adulto para rellenar un cuestionario y se observa que es desempleados . ¿Cuáles son las posibilidades de que esta persona elegida sea mujer?

Sabemos que el 39% de la población activa está compuesta por mujeres mientras que el resto son hombres . También sabemos que el porcentaje de mujeres desempleadas es del 22% y el de hombres del 14%.

Finalmente también sabemos que la probabilidad de que una persona elegida al azar esté en paro es 017. Si aplicamos la fórmula del teorema de Bayes el resultado que obtendremos es que existe una probabilidad de 05 de que una persona elegida al azar entre los parados

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

El teorema de Bayes deriva de la conjunción de los teoremas de probabilidad compuesta y absoluta que explicamos al principio. Su característica principal es que funciona en todas las interpretaciones de probabilidad.

Ya que se puede utilizar para calcular la probabilidad de una causa que desencadenó el evento. su importancia radica en la forma en que históricamente ha afectado el estudio de la estadística . De hecho, hoy en día se conocen dos escuelas principales (una frecuentista y otra bayesiana) que se contrastan a partir de la interpretación dada a esta teoría.

Cerramos con una curiosidad: ¿sabías que el spam electrónico (el de Internet anuncios por correo electrónico) ¿funciona gracias al teorema de Bayes?